home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ IRIX 6.2 Development Libraries / SGI IRIX 6.2 Development Libraries.iso / dist / complib.idb / usr / share / catman / p_man / cat3 / complib / slatrs.z / slatrs
Text File  |  1996-03-14  |  8KB  |  265 lines
  1.  
  2.  
  3.  
  4. SSSSLLLLAAAATTTTRRRRSSSS((((3333FFFF))))                                                          SSSSLLLLAAAATTTTRRRRSSSS((((3333FFFF))))
  5.  
  6.  
  7.  
  8. NNNNAAAAMMMMEEEE
  9.      SLATRS - solve one of the triangular systems   A *x = s*b or A'*x = s*b
  10.      with scaling to prevent overflow
  11.  
  12. SSSSYYYYNNNNOOOOPPPPSSSSIIIISSSS
  13.      SUBROUTINE SLATRS( UPLO, TRANS, DIAG, NORMIN, N, A, LDA, X, SCALE, CNORM,
  14.                         INFO )
  15.  
  16.          CHARACTER      DIAG, NORMIN, TRANS, UPLO
  17.  
  18.          INTEGER        INFO, LDA, N
  19.  
  20.          REAL           SCALE
  21.  
  22.          REAL           A( LDA, * ), CNORM( * ), X( * )
  23.  
  24. PPPPUUUURRRRPPPPOOOOSSSSEEEE
  25.      SLATRS solves one of the triangular systems triangular matrix, A' denotes
  26.      the transpose of A, x and b are n-element vectors, and s is a scaling
  27.      factor, usually less than or equal to 1, chosen so that the components of
  28.      x will be less than the overflow threshold.  If the unscaled problem will
  29.      not cause overflow, the Level 2 BLAS routine STRSV is called.  If the
  30.      matrix A is singular (A(j,j) = 0 for some j), then s is set to 0 and a
  31.      non-trivial solution to A*x = 0 is returned.
  32.  
  33.  
  34. AAAARRRRGGGGUUUUMMMMEEEENNNNTTTTSSSS
  35.      UPLO    (input) CHARACTER*1
  36.              Specifies whether the matrix A is upper or lower triangular.  =
  37.              'U':  Upper triangular
  38.              = 'L':  Lower triangular
  39.  
  40.      TRANS   (input) CHARACTER*1
  41.              Specifies the operation applied to A.  = 'N':  Solve A * x = s*b
  42.              (No transpose)
  43.              = 'T':  Solve A'* x = s*b  (Transpose)
  44.              = 'C':  Solve A'* x = s*b  (Conjugate transpose = Transpose)
  45.  
  46.      DIAG    (input) CHARACTER*1
  47.              Specifies whether or not the matrix A is unit triangular.  = 'N':
  48.              Non-unit triangular
  49.              = 'U':  Unit triangular
  50.  
  51.      NORMIN  (input) CHARACTER*1
  52.              Specifies whether CNORM has been set or not.  = 'Y':  CNORM
  53.              contains the column norms on entry
  54.              = 'N':  CNORM is not set on entry.  On exit, the norms will be
  55.              computed and stored in CNORM.
  56.  
  57.      N       (input) INTEGER
  58.              The order of the matrix A.  N >= 0.
  59.  
  60.  
  61.  
  62.  
  63.                                                                         PPPPaaaaggggeeee 1111
  64.  
  65.  
  66.  
  67.  
  68.  
  69.  
  70. SSSSLLLLAAAATTTTRRRRSSSS((((3333FFFF))))                                                          SSSSLLLLAAAATTTTRRRRSSSS((((3333FFFF))))
  71.  
  72.  
  73.  
  74.      A       (input) REAL array, dimension (LDA,N)
  75.              The triangular matrix A.  If UPLO = 'U', the leading n by n upper
  76.              triangular part of the array A contains the upper triangular
  77.              matrix, and the strictly lower triangular part of A is not
  78.              referenced.  If UPLO = 'L', the leading n by n lower triangular
  79.              part of the array A contains the lower triangular matrix, and the
  80.              strictly upper triangular part of A is not referenced.  If DIAG =
  81.              'U', the diagonal elements of A are also not referenced and are
  82.              assumed to be 1.
  83.  
  84.      LDA     (input) INTEGER
  85.              The leading dimension of the array A.  LDA >= max (1,N).
  86.  
  87.      X       (input/output) REAL array, dimension (N)
  88.              On entry, the right hand side b of the triangular system.  On
  89.              exit, X is overwritten by the solution vector x.
  90.  
  91.      SCALE   (output) REAL
  92.              The scaling factor s for the triangular system A * x = s*b  or
  93.              A'* x = s*b.  If SCALE = 0, the matrix A is singular or badly
  94.              scaled, and the vector x is an exact or approximate solution to
  95.              A*x = 0.
  96.  
  97.      CNORM   (input or output) REAL array, dimension (N)
  98.  
  99.              If NORMIN = 'Y', CNORM is an input argument and CNORM(j) contains
  100.              the norm of the off-diagonal part of the j-th column of A.  If
  101.              TRANS = 'N', CNORM(j) must be greater than or equal to the
  102.              infinity-norm, and if TRANS = 'T' or 'C', CNORM(j) must be
  103.              greater than or equal to the 1-norm.
  104.  
  105.              If NORMIN = 'N', CNORM is an output argument and CNORM(j) returns
  106.              the 1-norm of the offdiagonal part of the j-th column of A.
  107.  
  108.      INFO    (output) INTEGER
  109.              = 0:  successful exit
  110.              < 0:  if INFO = -k, the k-th argument had an illegal value
  111.  
  112. FFFFUUUURRRRTTTTHHHHEEEERRRR DDDDEEEETTTTAAAAIIIILLLLSSSS
  113.      A rough bound on x is computed; if that is less than overflow, STRSV is
  114.      called, otherwise, specific code is used which checks for possible
  115.      overflow or divide-by-zero at every operation.
  116.  
  117.      A columnwise scheme is used for solving A*x = b.  The basic algorithm if
  118.      A is lower triangular is
  119.  
  120.           x[1:n] := b[1:n]
  121.           for j = 1, ..., n
  122.                x(j) := x(j) / A(j,j)
  123.                x[j+1:n] := x[j+1:n] - x(j) * A[j+1:n,j]
  124.           end
  125.  
  126.  
  127.  
  128.  
  129.                                                                         PPPPaaaaggggeeee 2222
  130.  
  131.  
  132.  
  133.  
  134.  
  135.  
  136. SSSSLLLLAAAATTTTRRRRSSSS((((3333FFFF))))                                                          SSSSLLLLAAAATTTTRRRRSSSS((((3333FFFF))))
  137.  
  138.  
  139.  
  140.      Define bounds on the components of x after j iterations of the loop:
  141.         M(j) = bound on x[1:j]
  142.         G(j) = bound on x[j+1:n]
  143.      Initially, let M(0) = 0 and G(0) = max{x(i), i=1,...,n}.
  144.  
  145.      Then for iteration j+1 we have
  146.         M(j+1) <= G(j) / | A(j+1,j+1) |
  147.         G(j+1) <= G(j) + M(j+1) * | A[j+2:n,j+1] |
  148.                <= G(j) ( 1 + CNORM(j+1) / | A(j+1,j+1) | )
  149.  
  150.      where CNORM(j+1) is greater than or equal to the infinity-norm of column
  151.      j+1 of A, not counting the diagonal.  Hence
  152.  
  153.         G(j) <= G(0) product ( 1 + CNORM(i) / | A(i,i) | )
  154.                      1<=i<=j
  155.      and
  156.  
  157.         |x(j)| <= ( G(0) / |A(j,j)| ) product ( 1 + CNORM(i) / |A(i,i)| )
  158.                                       1<=i< j
  159.  
  160.      Since |x(j)| <= M(j), we use the Level 2 BLAS routine STRSV if the
  161.      reciprocal of the largest M(j), j=1,..,n, is larger than
  162.      max(underflow, 1/overflow).
  163.  
  164.      The bound on x(j) is also used to determine when a step in the columnwise
  165.      method can be performed without fear of overflow.  If the computed bound
  166.      is greater than a large constant, x is scaled to prevent overflow, but if
  167.      the bound overflows, x is set to 0, x(j) to 1, and scale to 0, and a
  168.      non-trivial solution to A*x = 0 is found.
  169.  
  170.      Similarly, a row-wise scheme is used to solve A'*x = b.  The basic
  171.      algorithm for A upper triangular is
  172.  
  173.           for j = 1, ..., n
  174.                x(j) := ( b(j) - A[1:j-1,j]' * x[1:j-1] ) / A(j,j)
  175.           end
  176.  
  177.      We simultaneously compute two bounds
  178.           G(j) = bound on ( b(i) - A[1:i-1,i]' * x[1:i-1] ), 1<=i<=j
  179.           M(j) = bound on x(i), 1<=i<=j
  180.  
  181.      The initial values are G(0) = 0, M(0) = max{b(i), i=1,..,n}, and we add
  182.      the constraint G(j) >= G(j-1) and M(j) >= M(j-1) for j >= 1.  Then the
  183.      bound on x(j) is
  184.  
  185.           M(j) <= M(j-1) * ( 1 + CNORM(j) ) / | A(j,j) |
  186.  
  187.                <= M(0) * product ( ( 1 + CNORM(i) ) / |A(i,i)| )
  188.                          1<=i<=j
  189.  
  190.      and we can safely call STRSV if 1/M(n) and 1/G(n) are both greater than
  191.      max(underflow, 1/overflow).
  192.  
  193.  
  194.  
  195.                                                                         PPPPaaaaggggeeee 3333
  196.  
  197.  
  198.  
  199.  
  200.  
  201.  
  202. SSSSLLLLAAAATTTTRRRRSSSS((((3333FFFF))))                                                          SSSSLLLLAAAATTTTRRRRSSSS((((3333FFFF))))
  203.  
  204.  
  205.  
  206.  
  207.  
  208.  
  209.  
  210.  
  211.  
  212.  
  213.  
  214.  
  215.  
  216.  
  217.  
  218.  
  219.  
  220.  
  221.  
  222.  
  223.  
  224.  
  225.  
  226.  
  227.  
  228.  
  229.  
  230.  
  231.  
  232.  
  233.  
  234.  
  235.  
  236.  
  237.  
  238.  
  239.  
  240.  
  241.  
  242.  
  243.  
  244.  
  245.  
  246.  
  247.  
  248.  
  249.  
  250.  
  251.  
  252.  
  253.  
  254.  
  255.  
  256.  
  257.  
  258.                                                                         PPPPaaaaggggeeee 4444
  259.  
  260.  
  261.  
  262.  
  263.  
  264.  
  265.